Log ind

UNI•Login E-mail login Opret bruger

Skalarprodukt og vinkel 2

Vektorer i rummet

Her ser vi nærmere på en brugbar sammenhæng mellem skalarproduktet (prikproduktet) mellem to vektorer, de to vektorers længder, samt vinklen mellem dem. Forstå sammenhængen mellem skalarprodukt, længde og vinkel Kunne benytte formlen til at beregne vinklen mellem to vektorer i rummet   Skalarprodukt og vinkel mellem to vektorer i rummet Formel 64 i Matematisk Formelsamling STX A, 2007

Skalarprodukt, længde og vinkel for to vektorer i rummet

Helt overordnet defineres en vektor i rummet som en kombination af tre tal, man kalder for vektorens koordinatsæt. I princippet er en vektor en pil og derfor har den både en længde og en retning.

Der gælder en vigtig sammenhæng mellem skalarprodukt (prikprodukt), længde og vinkel for to vektorer i rummet:

Skalarprodukt, længde og vinkel for to vektorer i rummet

cos v = a b | a | | b |

Formlen siger at cosinus til vinklen mellem to vektorer er lig med forholdet mellem skalarproduktet (prikproduktet) og produktet af vektorernes længder.

Bemærk, at formlen i princippet er enslydende med den forrige formel (man skal blot gange med længderne).

Eksempel - Beregning af vinklen mellem to vektorer i rummet

Lad os se et eksempel på, hvordan formlen anvendes.

Eksempel

Der er givet følgende  to vektorer i rummet:

a = ( 3 4 0 )

a = ( 6 0 8 )

Før man kan benytte formlen, skal man finde længderne af vektorerne:

| a | = 3 2 + 4 2 + 0 2 = 9 + 16 + 0 = 25 = 5 | b | = 6 2 + 0 2 + 8 2 = 36 + 0 + 64 = 100 = 10

Desuden skal man finde skalarproduktet (prikproduktet) af vektorerne:

a b = ( 3 4 0 ) ( 6 0 8 ) = 3 6 + 4 0 + 0 8 = 18

Dermed er vi klar til at benytte formlen:

cos v = a b | a | | b | = 18 5 10 = 18 50 = 0,36

Cosinus til vinklen mellem de to vektorer er dermed 0,36. For at finde vinklen tager man cos-1 på begge sider:

cos v = 0,36 v = cos -1 ( 0,36 ) v = 68,90

Dermed er vinklen mellem vektorerne a og b ca. 68,90 grader. Du kan i øvrigt beregne cos-1 på lommeregner eller i Excel.

 

Opsummering

  • Cosinus til vinklen mellem to vektorer er lig med forholdet mellem skalarproduktet (prikproduktet) og produktet af vektorernes længder.
  • Formlen gør det muligt at finde vinklen mellem to vektorer i rummet ud fra kendskabet til skalarproduktet (prikproduktet) og længderne af vektorerne.