Log ind

UNI•Login E-mail login Opret bruger

Ligninger

Ligninger

I denne lektion skal vi se nærmere på, hvordan man løser ligninger. Først defineres, hvad man forstår ved en ligning, og hvad man forstår ved dens løsning. Derefter gennemgås og illustreres de fire grundlæggende regneoperationer for løsning af ligninger. Til sidst gennemgås nogle gode råd og strategier for løsning af simple ligninger. Forstå hvad en ligning er, og hvad den består af Forstå hvad der menes med en løsning til en ligning Kunne de fire regneoperationer addition, subtraktion, multiplikation og division Opnå nogle gode tilgange til løsning af simple ligninger

Video "Ligninger"

Du skal være logget ind

Du skal være logget ind for at kunne se dette indhold.

Log ind



Glemt kodeord?

Hvad er en ligning?

Ligninger spiller en stor rolle i mange naturvidenskabelige og økonomiske sammenhænge. Derudover er det en fundamental metode inden for matematikken. Derfor skal vi nu opnå de første færdigheder i forbindelse med at løse ligninger.

En ligning er defineret ved, at der indgår en eller flere ubekendte størrelser i et matematisk udtryk, hvor der desuden indgår et lighedstegn.

Ligning

Et matematisk udtryk, hvor der indgår et lighedstegn og desuden en eller flere ubekendte.

Ofte kalder man den ubekendte i en ligning for x. Der er dog intet i vejen for, at den kan døbes f.eks. a eller b. Principperne er heldigvis de samme.

Man taler desuden om en lignings højreside og venstreside:

En lignings højreside

Betegnelse for det af ligningen, der står til højre for lighedstegnet.

En lignings venstreside

Betegnelse for det af ligningen, der står til venstre for lighedstegnet.

Lad os se et eksempel på en ligning.

Eksempel

Der er givet følgende ligning:

x + 2 = 5

Hele udtrykket kaldes som sagt for ligningen. "x + 2" kaldes for venstresiden og "5" for højresiden.

Grundlæggende regneoperationer for ligninger

Idéen med ligninger er, at de kan løses. Der gælder følgende:

Løsning til en ligning

Man løser en ligning ved at isolere den ubekendte variabel (ofte x). Målet er derfor at få x til at stå alene på venstresiden.

Løsning af en ligning vil i mange sammenhænge være det samme som at finde frem til den værdi af x, der opfylder ligningen. Når man har isoleret x på den ene side af lighedstegnet, er det oplagt, hvad denne værdi er. Derfor ønsker man at isolere x.

Til at isolere den ubekendte i en ligning har man behov for regneoperationer. Der er fire grundlæggende regneoperationer for ligninger:

  • Addition: Man må lægge det samme tal til på begge sider af lighedstegnet
  • Subtraktion: Man må trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet
  • Multiplikation: Man må gange med det samme tal på begge sider af lighedstegnet (dog ikke 0)
  • Division: Man må dividere med det samme tal på begge sider af lighedstegnet (dog ikke 0)

Helt overordnet gælder der, at man må foretage en lang række af ovenstående regneoperationer for at nå frem til løsningen til ligningen. Lad os se eksempler på alle fire regneoperationer.

Løsning ved addition

Eksempel

Der er givet følgende ligning:

x 2 = 6

Lad os se på en løsning af ligningen:

Beregningerne er ligeledes vist her:

x 2 = 6

x 2 + 2 = 6 + 2

x = 8

Dermed har vi faktisk løst ligningen. Det kan man i øvrigt overbevise sig om ved at indsætte løsningen (x = 8) i den første ligning:

8 2 = 6

Eksemplet demonstrerede den første regneoperation: Addition.

Løsning ved subtraktion

Eksempel

Der er givet følgende ligning:

x + 2 = 5

Vi kan nu løse ligningen således:

Dermed har vi løst ligningen. Det kan man i øvrigt overbevise sig om ved at indsætte løsningen (x = 3) i den første ligning:

3 + 2 = 5

Eksemplet demonstrerede den anden regneoperation: Subtraktion.

Løsning ved multiplikation

Eksempel

Der er givet følgende ligning:

1 2 x = 3

Vi kan nu løse ligningen:

Dermed har vi løst ligningen. Igen kan man udføre kontrol ved at indsætte den fundne løsning (x = 6) i det første udtryk:

1 2 6 = 3

Eksemplet demonstrerede den tredje regneoperation: Multiplikation.

Løsning ved division

Eksempel

Der er givet følgende ligning:

2 x = 8

Vi kan nu løse ligningen:

Dermed har vi løst ligningen. Igen kan man udføre kontrol ved at indsætte den fundne løsning (x = 4) i det første udtryk:

2 4 = 8

Eksemplet demonstrerede den fjerde regneoperation: Division.

Gode råd til løsning af ligninger 1

Når man skal løse en ligning, vil man sjældent kunne nøjes med at benytte en enkelt regneoperation. Man skal derimod kombinere de forskellige regneoperationer for at isolere den ubekendte (x).

Lad os derfor opstille nogle gode råd hen ad vejen, der gør det lettere at løse ligninger. Her er det første:

Hint: Det er en god idé at samle alle led, hvor den ubekendte (x) indgår på den ene side af lighedstegnet og resten på den modsatte side.

Eksempel

Der er givet følgende ligning:

4 x + 3 = 3 x + 8

Lad os forsøge at få alle led, hvor x indgår, over på venstresiden:

4 x + 3 = 3 x + 8

4 x + 3 3 x = 3 x + 8 3 x

x + 3 = 8

Nu kan vi så få resten over på den modsatte side (dvs. til højresiden). Det gøres ved at trække 3 fra på begge sider:

x + 3 = 8

x + 3 3 = 8 3

x = 5

Dermed har vi løst ligningen og fundet frem til, at x = 5 er løsningen.

Gode råd til løsning af ligninger 2

Nogle gange skal man gøre sig yderligere overvejelser, når man har fået samlet alle led med x på den ene side. Det kan nemlig være nødvendigt at benytte multiplikation eller division:

Hint: Når man har isoleret led med x på den ene side, kan man ofte benytte multiplikation eller division for at komme frem til løsningen (dvs. x).

Eksempel

Der er givet følgende ligning:

5 x + 2 = 3 x + 10

Først benytter vi det forrige hint og får alle led med x over på venstre side og resten over på højresiden:

5 x + 2 = 3 x + 10

5 x + 2 3 x = 3 x + 10 3 x

2 x + 2 = 10

2 x + 2 2 = 10 2

2 x = 8

Nu kan vi benytte division (der skal divideres med 2) for at finde frem til x:

2 x = 8

2 x 2 = 8 2

x = 4

Dermed er ligningen løst, og vi har fundet løsningen x = 4.

Gode råd til løsning af ligninger 3

Til tider kan det være smart at multiplicere helt fra start. Det gør sig specielt gældende, hvis ligningen indeholder brøker og/eller kommatal.

Hint: Indeholder en ligning brøker og/eller kommatal, kan man multiplicere med et passende stort tal, så alle koefficienter i ligningen bliver heltal.

Fidusen er, at det ofte bliver lettere at løse ligningen efterfølgende.

Eksempel

Der er givet følgende ligning:

0 , 7 x 0 , 5 = 0 , 2 x + 1 , 5

Principielt kan vi blot løse ligningen, som vi gjorde tidligere. Men lad os til at starte med multiplicere med 10 på begge sider:

0 , 7 x 0 , 5 = 0 , 2 x + 1 , 5

10 ( 0 , 7 x 0 , 5 ) = 10 ( 0 , 2 x + 1 , 5 )

7 x 5 = 2 x + 15

Nu ser ligningen en smule mere tilforladelig ud. Vi kan nu få alle led med x over på venstresiden og resten på højresiden:

7 x 5 = 2 x + 15

7 x 5 2 x = 2 x + 15 2 x

5 x 5 = 15

5 x 5 + 5 = 15 + 5

5 x = 20

5 x 5 = 20 5

x = 4

Dermed er løsningen til ligningen x = 4. Årsagen til at der blev ganget med 10 var, at det fik alle koefficienterne til at blive heltal. Man kunne også have benyttet 100, men så var tallene på den anden side blevet ret store. Med tiden bliver man ganske god til at gennemskue, hvilke tal man med fordel kan multiplicere med.

Opsummering

  • En ligning består af et lighedstegn og et matematisk udtryk på hver side. De to sider benævnes venstresiden og højresiden.
  • En løsning til en ligning er den værdi for den ubekendte variabel, der opfylder ligningen.
  • Der er fire grundlæggende regneoperationer, man kan benytte, når man løser ligninger. Det er addition, subtraktion, multiplikation og division.
  • Det er en god idé at samle alle led, der indeholder den ubekendte variabel (x) på samme side.
  • Hvis en ligning indeholder brøker eller kommatal, kan man med fordel multiplicere med et passende tal. Dermed bliver ligningen ofte lettere at løse.