Log ind

UNI•Login E-mail login Opret bruger

Ligning for tangent i punkt

Differentialregning

Her ser vi nærmere på, hvordan man kan finde ligningen for tangenten til en funktion (graf) i et givent punkt. Kunne identificere, hvornår formlen kan bruges Kunne benytte formlen til at finde en tangentligning   Differentiering - Ligning for en tangent i et bestemt punkt Formel 119 i Matematisk Formelsamling STX A, 2007

Ligning for en tangent i et givent punkt

En tangent er betegnelsen for en ret linje, der berører en kurve (typisk givet ved et funktionsudtryk) i netop et punkt. Desuden har tangenten og kurven samme hældning i deres fælles berøringspunkt (tangentpunktet).

Når du skal finde tangentligningen for en funktion, skal blot benytte følgende formel:

Ligning for en tangent i et givent punkt

y = f ( x 0 ) ( x x 0 ) + f ( x 0 ) y = a ( x x 0 ) + y 0 Her er   a = f ( x 0 ) Her er  y 0 = f ( x 0 )

Bemærk, at formlen egentlig består af to varianter (de to sidste linjer viser, hvordan de to varianter hænger sammen):

Variant 1: Her skal man kende funktionsudtrykket for at kunne finde f'(x0) og f(x0).

Variant 2: Her skal man kende hældningen (a) i punktet og funktionsværdien (y0) i punktet.

Eksempel på ligningen for en tangent i et givent punkt - Variant 1

Lad os se et eksempel på, hvordan formlen anvendes.

Eksempel

Der er givet følgende funktion:

f ( x ) = 1 2 x 2 + 4 x + 4

Vi skal nu finde tangenten til funktionen f(x) i punktet P(2,10). Bemærk, at punktet fortæller os, at x0 = 2 og at f(x0) = 10.

Først skal man finde den afledte funktion for f(x). Det kan man gøre vha. formlen for differentiering af et potensudtryk:

f ( x ) = 1 2 2 x 2 1 + 4 1 x 1 1 f ( x ) = x 1 + 4 x 0 f ( x ) = x + 4

Nu skal man beregne hældningen i punktet P(2,10). Heldigvis ved vi fra oplysningerne om punktet, at x = 2 i punktet P (1. koordinaten til P er 2). Derfor indsætter man nu x = 2 i f'(x) for at finde hældningen i punktet P:

f ( x ) = x + 4 f ( 2 ) = 2 + 4 f ( 2 ) = 2

Dermed er hældningen 2 i punktet P(2,10).

Desuden vides det, at funktionsværdien er 10 i punktet. Det er jo netop det, som punktets 2. koordinat fortæller os. Dermed skal vi blot benytte formlen:

y = f ( x 0 ) ( x x 0 ) + f ( x 0 ) y = 2 ( x 2 ) + 10 y = 2 x 4 + 10 y = 2 x + 6

Dermed har vi fundet ligningen for tangenten i punktet P(2,10) for funktionen f(x).

Lad os se det hele grafisk:

Bemærk, at hvis man ikke kendte funktionsværdien i punktet (dvs. f(x0)), da kan man altid beregne den ved at indsætte x0 i funktionen. For god ordens skyld gøres det her:

f ( x ) = 1 2 x 2 + 4 x + 4 f ( 2 ) = 1 2 2 2 + 4 2 + 4 f ( 2 ) = 1 2 4 + 8 + 4 f ( 2 ) = 2 + 8 + 4 f ( 2 ) = 10

Det gav heldigvis 10, som var oplyst i opgaven.

Eksempel på ligningen for en tangent i et givent punkt - Variant 2

Lad os se et eksempel på, hvordan formlen anvendes, når variant 2 er i spil.

Eksempel

Det oplyses (eller man har regnet sig frem til!) at hældningen for en linje (tangentlinje) er 2. Desuden oplyses det, at linjen går gennem punktet P(2,10). Vi skal nu finde linjens ligning (tangentligningen).

Hældningen kaldes a og derfor er a = 2. Desuden kaldes punktet P's koordinater for x0 og y0. Dermed kan vi indsætte i formlen:

y = a ( x x 0 ) + y 0 y = 2 ( x 2 ) + 10 y = 2 x 4 + 10 y = 2 x + 6

Dermed er linjens (tangentens) ligning fundet.

Opsummering

  • Man kan finde en tangentligning til en kurve i et givent punkt, hvis man kender punktets koordinater, samt hældningen i punktet.
  • I nogle tilfælde skal man beregne hældningen ved at indsætte punktets x-koordinat i den afledte funktion.