Log ind

UNI•Login E-mail login Opret bruger

To ligninger med to ubekendte

Ligninger

Læs først

Her kan du lære, hvordan man løser to ligninger med to ubekendte. Det kunne f.eks. være y = 5x - 7 og y = 3x + 1. Kunne løse to ligninger med to ubekendte (for lineære sammenhænge) Kunne benytte substitutionsmetoden Kunne benytte lige store koefficienters metode

Video "To ligninger med to ubekendte"

Du skal være logget ind

Du skal være logget ind for at kunne se dette indhold.

Log ind



Glemt kodeord?

Sådan løser du to ligninger med to ubekendte

Når der er givet to ligninger med to ubekendte, kan man tænke det som to betingelser, der skal gælde samtidig.

Det letteste er dog at se et eksempel!

Eksempel

Der er givet følgende to ligninger:

y = 5 x 7 y = 3 x + 1

Da der står det samme på venstre side (der står den samme variabel, nemlig y), kan man sætte højresiderne lig med hinanden:

Dermed er x = 4. Dog mangler vi at finde y, når x = 4. Det finder man ved at indsætte x = 4 i en af de oprindelige ligninger:

y = 5 x 7 = 5 4 7 = 20 7 = 13

Man kunne også have indsat x = 4 i den anden ligning - det skal give præcis det samme (ellers har man regnet forkert!):

y = 3 x + 1 = 3 4 + 1 = 12 + 1 = 13

Uanset hvad man vælger, bliver y = 13.

Dermed er den samlede løsning til de to ligninger med to ubekendte, at x = 4 og y = 13.

Substitutionsmetoden

Nogen gange er de to ligninger givet på en lidt anden måde end fra forrige trin. I så fald kan man benytte et trick, der i daglig tale kaldes for substitution (man skifter noget ud med noget andet!).

Eksempel

Der er givet følgende to ligninger, hvor x og y er ubekendte:

x = 2 y 4 y = 3 x + 7

Man kan nu indsætte 3x + 7 på y's plads i den første ligning:

x = 2 y 4 x = 2 ( 3 x + 7 ) 4 x = 6 x + 14 4 x = 6 x + 10 5 x = 10 x = 10 5 x = 2

Dermed skal x = -2. Nu kan man finde y-værdien ved at indsætte i ligning nummer 2 i opgaven:

y = 3 x + 7 = 3 ( -2 ) + 7 = 6 + 7 = 1

Dermed skal y = 1.

Den samlede løsning bliver derfor x = -2 og y = 1.

Lige store koefficienters metode

En helt tredje metode kan man anvende, når de to ligninger har en særligt udseende. Filosofien er nu, at man ønsker et gøre koefficienten foran x lige stor for de to ligninger.

Lad os se et eksempel.

Eksempel

Der er givet følgende to ligninger med de to ubekendte x og y:

2 x + 3 y = 8 4 x + 5 y = 14

Vi ønsker nu at gøre tallene foran x'erne i de to ligninger lige store. Det kan vi gøre ved at gange med 2 i den første ligning:

2 ( 2 x + 3 y ) = 2 8 4 x + 6 y = 16

Dermed har vi nu de to ligninger:

4 x + 6 y = 16 4 x + 5 y = 14

Nu trækker vi den nederste ligning fra den øverste! Det lyder syret, men egentlig skal man bare skrive det op:

( 4 x + 6 y ) ( 4 x + 5 y ) = 16 14

Bemærk, at man trækker venstresiderne fra hinanden og højresiderne fra hinanden.

Nu skal man blot isolerer x:

( 4 x + 6 y ) ( 4 x + 5 y ) = 16 14 4 x + 6 y 4 x 5 y = 2 y = 2

Dermed er y = 2. Bemærk, at x forsvandt på magisk vis. Det er netop idéen med lige store koefficienters metode!

Nu kan man finde x ved at indsætte i en af de oprindelige ligninger:

2 x + 3 y = 8 2 x + 3 2 = 8 2 x + 6 = 8 2 x = 2 x = 1

Dermed er x = 1.

Den samlede løsning bliver derfor x = 1 og y = 2.

Opsummering

  • Hvis to ligninger er givet på formen y = ax + b, kan man sætte dem lig med hinanden og finde x. Derefter kan man finde y.
  • Hvis to ligninger er givet som y = ax + b og x = cy + d, kan man benytte substitutionsmetoden.
  • Hvis to ligninger er givet som ax + by = c og dx + ey = f, kan man benytte lige store koefficienters metode.